Article de mentor : Les cas particuliers du théorème de Pythagore

Il y a environ 2500 ans, lorsque le grec Pythagore énonça son fameux théorème sur la somme des carrés des cathètes d’un triangle rectangle, il ne se doutait probablement pas que ce théorème serait encore constamment enseigné dans le corpus de base des mathématiques à travers le monde. En 3e secondaire, le cas général apparaît lorsqu’on possède soit deux cathètes, soit une cathète et l’hypoténuse, et qu’il faut trouver la mesure manquante. Il existe cependant quelques cas particuliers qui valent la peine d’être vus avec vos élèves en prévision des examens.

Le triangle rectangle isocèle

Si l’on connaît l’hypoténuse de ce rectangle, on peut arriver à trouver la valeur des cathètes en posant cette longueur comme la variable x pour obtenir l’équation x2 + x2 = c2 qui à son tour devient 2×2 = c2. L’élève peut désormais la résoudre à l’aide de la racine carrée. Ce cas peut également se généraliser à tous les triangles rectangles à l’aide d’une proportion donnée. Par exemple, si une cathète vaut le triple de l’autre pour une hypoténuse donnée, on obtient x2 + (3x)2 = c2 qui peut se résoudre de manière similaire.

Le triangle équilatéral

On peut tracer la hauteur de ce triangle pour obtenir deux triangles rectangles identiques. Si l’on connaît la hauteur de ce triangle équilatéral, alors la longueur de la cathète restante peut se représenter par la variable x et son hypoténuse par 2x (puisque la hauteur d’un triangle équilatéral est également la médiatrice du côté opposé). L’équation devient donc h2 + x2 = (2x)2. Ce cas est équivalent à l’utilisation du théorème qui stipule que dans un triangle rectangle qui possède un angle de 30 degrés, le côté opposé à cet angle vaut la moitié de l’hypoténuse. Encore une fois, ce cas se généralise en posant l’hypoténuse comme une proportion quelconque d’une cathète d’un triangle rectangle.

À l’inverse, si l’on connaît l’hypoténuse, on connaît une cathète du triangle et l’on peut en déduire la hauteur. Une manière courante d’insérer un triangle équilatéral dans un problème passe par la figure de l’hexagone puisque celui-ci se divise en six triangles équilatéraux.

Pythagore et la Géométrie 3D

En trois dimensions, on rencontre parfois la situation dans laquelle on doit tracer des triangles rectangles afin de calculer la hauteur d’une pyramide ou d’un autre solide. Un cas plus difficile apparaît lorsque l’on doit obtenir la grande diagonale d’un prisme pour lequel on connaît les dimensions. Dans ce cas, on doit tout d’abord tracer un triangle rectangle sur une face, l’hypoténuse de ce triangle devient ensuite une cathète d’un second triangle rectangle dans l’espace dont l’hypoténuse rejoint les deux coins opposés du prisme.

Finalement, pour vos élèves qui s’en tirent bien déjà, vous pouvez proposer la démarche inverse. Par exemple, que vaut le volume d’un cube dont la diagonale de deux coins opposés vaut une unité de longueur? Des calculs semblables prévalent pour le cas généralisé dans lequel on donne les proportions entre les côtés du prisme. Dans ce cas, on pourrait demander de trouver le volume d’un prisme lorsque la grande diagonale vaut une unité, qu’un côté du prisme vaut le double du premier et le troisième le double du second.

Dans tous ces cas, il est important de ne donner que des proportions sans additions. Des liens comme 3 de plus que le double (2x+3) complique la résolution, car par l’utilisation du théorème de Pythagore il y aura apparition d’équations quadratiques, notions que vos élèves ne verront que l’an prochain.

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Félix Lambert, tuteur et mentor chez Succès Scolaire